数制
计算机二进制系统知识结构总结
一、数制
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基本定义
- 二进制：基数为2，符号集为{0,1}，权值为2的幂次（如
101.11₂ = 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ + 1×2⁻¹ + 1×2⁻²）。 - 八进制：基数为8，符号集为{0-7}，权值为8的幂次。
- 十六进制：基数为16，符号集为{0-9, A-F}，权值为16的幂次。
- 十进制：基数为10，符号集为{0-9}，权值为10的幂次。
- 二进制：基数为2，符号集为{0,1}，权值为2的幂次（如
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权值表示示例
- 十进制数
123.12：- 整数部分：
1×10² + 2×10¹ + 3×10⁰ - 小数部分：
1×10⁻¹ + 2×10⁻²
- 整数部分：
- 二进制数
101.11：- 整数部分：
1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ - 小数部分：
1×2⁻¹ + 1×2⁻²
- 整数部分：
- 十进制数
二、数制之间的相互转换
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二进制 ↔ 十进制
- 转十进制：按权展开求和（如
1011.101₂ = 11.625₁₀）。 - 转二进制：
- 整数部分：除2取余，逆序排列（如
13 → 1101）。 - 小数部分：乘2取整，顺序排列（如
0.625 → 0.101）。
- 整数部分：除2取余，逆序排列（如
- 转十进制：按权展开求和（如
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二进制 ↔ 八进制/十六进制
- 转八进制：三位一组分组，每组转八进制（如
110101₂ → 65₈）。 - 转十六进制：四位一组分组，每组转十六进制（如
1010111101₂ → 2BD₁₆）。 - 逆向转换：每位八/十六进制数展开为3/4位二进制（如
347₈ → 11100111₂）。
- 转八进制：三位一组分组，每组转八进制（如
三、计算机整数存储：原码、反码、补码系统
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编码系统对比
特性 原码 反码 补码 符号位 最高位（0正，1负） 同原码 同原码 数值范围 -7~+7（4位） -7~+7（4位） -8~+7（4位） 模数 无 \(2^n -1\) \(2^n\) ±0问题 存在±0（冗余） 存在±0（冗余） 唯一零 硬件复杂度 高（需加减法器） 中（需循环进位） 低（仅需加法器） -
模运算核心
- 补码设计：基于模\(2^n\)，将减法统一为加法（如
-3 ≡ 5 mod 8，故3 - 5 ≡ 3 + 3 = 6 ≡ -2 mod 8）。 - 反码缺陷：模\(2^n -1\)导致溢出需手动+1修正（如
3 + 1 = 4 → 硬件截断为0，修正后为1）。 - 补码优势：溢出直接截断即正确（如
3 + 1 = 4 ≡ -4 mod 8，硬件结果100表示-4）。
- 补码设计：基于模\(2^n\)，将减法统一为加法（如
四、计算机浮点数存储：IEEE 754标准（32位单精度）
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结构组成
部分 位数 说明 符号位 1位 0正数，1负数。指数 8位 移码（Excess-127），实际指数 = E - 127。 尾数 23位 隐含最高位 1（规格化数）或0（非规格化数）。 -
规格化数
- 条件：指数非全0/全1（\(1 ≤ E ≤ 254\)）。
- 公式：\((-1)^S × 1.M₂ × 2^{E-127}\)。
- 范围：\(≈1.175×10^{-38} \text{~} 3.4×10^{38}\)。
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非规格化数
- 条件：指数全0（\(E=0\)）。
- 公式：\((-1)^S × 0.M₂ × 2^{-126}\)。
- 作用：填补接近零的数值间隙（最小正数≈\(1.4×10^{-45}\)）。
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特殊值
- ±0：指数和尾数全0。
- ±∞：指数全1且尾数全0（如
1.0/0.0）。 - NaN：指数全1且尾数非0（如
0/0）。
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移码（Excess-127）逻辑
- 偏移目的：将指数范围从
-126~+127映射为无符号数1~254，避免负数存储。 - 比较优势：直接对比存储值即可判断指数大小（如
130 > 120对应实际指数3 > -7）。
- 偏移目的：将指数范围从
总结
- 数制：二进制为核心，八/十六进制为便捷分组表示。
- 转换：权值展开与分组法是核心，适用于整数与小数部分的灵活转换，并支持高效的多进制互操作。
- 整数存储：补码通过模\(2^n\)消除冗余，统一运算逻辑，成为现代标准。
- 浮点存储：IEEE 754通过移码、隐含位和非规格化数，平衡精度与范围，支持科学计算需求。