函数与极限

映射与函数

一、映射

1. 映射概念

   • 映射、像、原像、定义域、值域。\(f: X \to Y\)
   • 构成映射要求：集合\(X\)要等于定义域，\(D_{f} = X\)；值域\(R_{f}\)是集合\(Y\)的子集；对应法则要求\(x\)有每个唯一确定的\(y\)与之对应。
   • 原像的像是唯一的。像的原像不一定是唯一的；值域是\(Y\)的子集，不一定相等。
   • 若值域等于\(Y\)，则为满射。
   • 若定义域中的不同元素的像也不相同，则为单射。
   • 若即是单射又是满射，则为一一映射。
   • 映射又称算子。
   • 从非空集合\(X\)到数集\(Y\)的映射称为\(X\)上的泛函。
   • 从非空集合\(X\)到它自身的映射称为\(X\)上的变换。
   • 从实数集（或其子集）\(X\)到实数集\(Y\)的映射称为定义在\(X\)上的函数。

2. 逆映射与复合映射

   • 原映射为单射，那么值域到定义域\(x\)的新映射，为原\(f\)的逆映射。要求：定义域\(D_{f^{-1}} = R_{f}\)，值域\(R_{f^{-1}} = X\)
   • 复合映射。\(g: X \to Y_{1}\)，\(f: Y_{2} \to Z\)。\(g\)的值域\(R_{g}\)必须包含在\(f\)的定义域内，确定了一个从\(X \to Z\)的映射。复合映射强调顺序性。

二、函数